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ウェバー・フェヒナーの法則(Weber-Fechner's law)ハイセンスになるにはリラックスを!03

ウェーバーの筋感覚の実験から微分方程式を立ててそれを解く過程を追いかけてみます。

では、ウェーバーの古典的な実験から、始まり、始まり \(^^)/

ウェーバーは目隠しをされた被験者が手に持っている重さを徐々に増やして、彼が最初に重さが増えたと感じたときに報告してもらう実験をしました。その実験の結果、ウェーバーは、反応が重さの相対的な増加と比例してことを見つけました。すなわち、重さが1kgであるならば、2、3グラムの増加は気がつかれません。だいたい元の重さの40分の1だけ増加したとき、初めて認識されました。

この実験結果は

「感知できる重さの増加=定数×実際の重さの増加/基準となる重さ」

とまとめられて、数式で表現すると。

weber01

と表されて、ここで、文部省の高校の教科書の表現に従って書き換えておくとわかりやすいと思うので、式変形しときます。

weber02

この種の関係は微分方程式で記述することができます。さらに、ほかの感覚にも当てはまることが実験で確かめられたので一般化して

weber03

dpは感知できる感覚の微小増加、dSは刺激の微小増加でSはその瞬間の刺激です。また、kは実験で決定された定数です。

つまり、元の刺激が小さいほど、その刺激の変化を感じられることを示します。

ゆっくりと力まずにやればやるほど、自分がしていることを認識しやすいというわけですね。

もちろん、高校の範囲の数学で積分してこの微分方程式は解けますから、次は微分方程式を解いてみましょう。教科書に載っている公式を用いて

weber04

nは自然対数で、Cは積分定数です。一般に使われる常用対数ではなくて自然対数で表現する理由は積分することから来ていることがわかりますね。

積分定数Cを決めるために、認識できない感覚すなわちP=0のときの刺激すなわち弁別域をS0とおくと

weber05

したがって、代入して対数法則で式変形すれば、

weber06

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コメント

とってもわかりやすい説明です!
「納得!納得!」とつぶやいてしまいました(^v^)

子供の頃はなんにでも感動できたけど、大人になると感動が小さいのもきっとこの法則に通じるものがあるのかしら。

とっても参考になりました!

のんさん、コメントありがとうございます。
お役に立てて嬉しいです。

もしかしたら、子供の方が定数Kの値が大きいのかもしれませんね。
きっと、好奇心にも関係していることでしょう。

この一つの法則ですべてをかたずけることはできませんけど、これをきっかけの一つとして色々なことを考えていければいいなと思っています。

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